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关于行列式的计算方法

作者: 发布时间:2019-11-22 10:53:57 阅读: 79 次

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关于行列式的计算方法

 

摘要:作为线性代数至关重要的内容之一,行列式也一直作为学生的数学学习重点。由于行列式的相关知识内容本身具有较高的抽象性与复杂性,因而也在一定程度上增加了学生的学习尤其是行列式的计算难度。为此,本文将从简单介绍行列式入手,通过结合具体例题,着重围绕行列式的计算方法进行简要分析研究。

关键词:线性代数;行列式;计算方法

 

引言:从求解线性方程组中演化而来的行列式,无论是其具体概念还是计算方法,均与求解线性方程组的公式有着极为紧密的关联。因此在学习和计算行列式的过程中,也可以从线性方程组入手,根据题目的具体要求与类型特点,选择与之相适宜的计算方法,从而快速精准地完成行列式的计算。而探究行列式的计算方法,则能够有效为学生学习行列式以及求解相关题目奠定坚实良好的基础。

一、行列式的简要概述

在线性代数当中认为,若有元素aij且其按照n行与n列的方式进行排列,元素总数为n2个,此时其构成的记号可以表示为:

而按照n行n列排列而成,总数元素数为n2个的元素aij记号便是n阶行列式,其作为n!项代数和,任一一项均取自行与列完全不相同的n个元素的乘积。任一一项中的每一个元素,其行标排成自然序排列。在j1j2…jn分别作为偶排列与奇排列时,符号也将对应着分别取正号与符号。即有:

=(-1)

在这一公式当中,代表着全部n级排列j1j2…jn的总和。

    在行列式当中,即便行列互换,也并不会对行列式产生实质性影响,行列式仍然保持固定不变,也就是说行列式始终与其转置行列式保持高度一致。而当行列式的某一行或某一列与某数相乘时,所得到的乘积与该数与此行列式的乘积相同。在将行列式的两行或是两列互换后,行列式反号。而如果将行列式中某一行或某一列的倍数加至另一行或者另一列当中,行列式不发生变化。但如果出现两行或两列成比例或是存在元素完全一致或其中某一行或某一列中存在所有元素全部为零的情况,则此时对应的行列式也为零[1]。当行列式中某行或某列恰好为两组数的和,此时两个行列式的和与这一行列式完全相同,在刨除该行或该列之后,两个行列式中剩余全部行或列均和与之相对应的原行列式当中的行或列相同。

二、行列式的常用计算方法

(一)定义法

在计算行列式时,通过根据行列式的具体定义出发,采用定义法可以有效完成行列式的快速准确计算。例如在计算行列式:

通过根据前文给出的行列式的具体定义,可以推算出:

D=

此时便可以准确计算出该行列式D的值为-4.

(二)提取公因式法

在计算行列式时,提取公因式法也是其中一种常用的计算方法。该种计算方法顾名思义,主要是通过在对行列式进行计算时,根据行列式的具体特点,从中提取出相应的公因式,以此为着手点完成相应计算。例如在对如下n阶行列式Dn进行计算的过程中:

通过对该行列式进行认真观察,可发现在这一行列式当中,任意一行元素总和均完全相同,即为,考虑到其作为一种典型的全和型行列式,即有:

==

(三)化三角形法

在行列式当中,上、下三角形行列式为:

==

因此在求解行列式时便可以结合实际情况运用行列式这一特殊性质,采用化三角形法进行行列式的计算。例如在对n阶行列式Dn进行求值计算时,根据已知条件:

Dn=

在该行列式当中,所有行中均存在一个元素a,而在同行列中则共有元素b n-1个,因此通过根据行列式中某一行或某一列的倍数加至另一行或者另一列当中,行列式不发生变化的性质。依托行列式所具备的上或下三角形的值的性质,在计算的行列式中的行中,将第二行加入其中,此时d仍然保持固定不变。此后再将其他行全部加入其中,则有:

Dn=

            

在该行列式中的列与(-1)相乘后在于其他各列进行相加,此时:

=[a+(n-1)b](a-b)n-1

(四)数学归纳法

在数学学习中,归纳法是其中一项极为重要的数学思想方法,其主要通过归纳整理方式帮助学习者迅速找出其中蕴含的数学规律,并以此为基础完成数学学习和问题求解。例如在证明行列式:

n-1的条件下,此时有,且该命题成立。而在n与k完全相等的条件下,命题同样成立,此时只需要证明当n的值为k+1时等式仍然成立即可[2]。即:

在按照行列式中的最后一行将b进行展开后,便可以得到:

仍然按照最后一行将如下所示的行列式进行展开:

此时即可得到:

=(-1)1+k+1ak+1=(-1)k+2ak+1

同样按照上述解题思路和计算方法,将k-1列×(-bi)加至最后一列,此时该行列式即可变化为:

仍然按照最后一列对其进行展开,此时可以得到:

===,由此通过进一步计算即可得到:

再对其进行逐步推导计算最终可以得到Dk+2=(-1)k+2,由于n与k+1完全相等,因此可知则本题得以证明。值得注意的是,在该题当中不仅可以依照行列式的定义进行展开,同时也可以直接按照行或是列进行展开,同样也可以得到相同的计算结果,完成本题的证明。

结束语:通过本文的分析研究,可知在行列式计算当中,根据不同情况可使用的行列式计算方法也多种多样。因此在实际进行行列式计算时,需要在认真审题的基础上,依照行列式的具体类型与特点,选择与之相对应的计算方法,从而可以达到快速、准确完成行列式计算的目的。

参考文献:

[1]徐建中.行列式的计算方法与解析研究[J].赤峰学院学报(自然科学版),2018,34(08):11-13.

[2]李志青.浅谈行列式的多种巧算方法[J].数学学习与研究,2017(19):50-51.