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利用几何知识求解函数的最值

作者: 发布时间:2019-12-05 11:25:37 阅读: 66 次

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利用几何知识求解函数的最值

 

摘要:函数是数学当中的一个重要组成部分,在很多方面的数学学习中都有所涉及。同时,函数是高考当中的一个重点内容,在解题过程中经常需要数形结合。函数中的最值是一个十分重要的形态,在现实生活中,很多问题都能够以此解决。对最值的含义加以理解,选择作为有效、简单的求解函数,是解决问题的关键。中学数学学习中,几何也是一个重点内容,在函数性质的研究当中发挥了重要的作用。利用直观图形表达数字和符号,能够更加简单明了的分析和解决问题。很多函数最值问题,都可以利用几何知识,通过数形结合的方式解决。

关键词:几何知识;函数;最值

 

前言:在函数学习中,最值是一个重要的常见问题,在科研、生产、生活中也能够遇到此类问题。对于一些特殊函数,如果利用常规方法解决将十分繁琐,但可以利用几何知识加以转换,从而降低求解难度。在当前利用几何知识求解函数最值中,主要包括了向量法、数形结合法等。而在数形结合方法中,还包括了最值转化为函数图像截距,最值转化为两点间距离,矩形、立方体、斜率构造等。此外,对于十分复杂的函数组,还可以采用线性规划的方法解决。

一、运用向量法求解函数最值

在高考中,向量是一个较为重要的部分,利用直观的图形,对很多代数式进行转化,从而便于理解。利用向量求解函数最值,需要掌握向量的特点,分别是向量三角不等式:丨丨+丨≥丨丨;向量数量积性质:×≤丨×丨丨。在应用向量法的过程中,要确保合理恰当的构造向量,根据函数形式选择最合适的向量,以保证能够在有限的时间内快速求解函数最值。而且,向量法中会涉及到很多不等式,因此在实际解题过程中,需要对不等式的等号成立条件加以注意[1]

例:已知函数y=,求该函数的最小值。

解:将原函数转化为y=,设,则y=。所以,当且仅当同向,也就是时,y具有最小值,最小值为

分析:该题是一种典型的利用向量三角不等式求解函数最值的例子,通过这一题目能够看出,对于等形式的函数最值求解问题,可以先设,根据三角不等式就能够得出,。所以,当且仅当,也就是=时,函数由最小值,且最小值为。基于此,在解决此类函数最值问题的过程中,就能够采取上述方法解决。另外,对于一些复杂的函数,还可以转化为三个向量求解。

二、运用构造法求解函数最值

在函数问题的学习和研究当中,构造法是一种十分常用的方法,在利用几何知识求解函数最值的过程中,也会对构造法加以应用能够。通过对熟悉的平面图形、立体图形的构造,实现函数最值的求解[2]

例:α、β、γ都是锐角,同时,求解最小值。

解:根据题目构造一个长方体,如下图所示,分别设长a、宽b、高c。

 

根据该图能够看出,。所以。因而得出的最小值为

分析:关于角的三角函数问题,在计算当中一般较为复杂,可以利用长度转换复杂的三角函数,进而更加方便的进行计算,通过构造立体图形,在二者之间建立联系。对题中给出的信息加以分析,对满足题目要求,同时方便求解的图形进行构造,为函数最值求解提供帮助。在平常的学习中应当注意对图形的观察,从而能够在解决实际问题时更加得心应手。

三、转化为截距求解函数最值

高考当中会有一些数学问题,并没有直接给出函数求解,而是需要线构造一个函数,然后转化成抑制数学结合方法,对函数最值进行求解。最为常见的是一次函数y=kx+b的截距,此类一次函数的构造相对简单而且计算方便,使x=0或y=0即可求解最值[3]

例:数x、y,满足函数X2y24x+3=0,求解函数2x+y的最值。

解:设b=2x+y,即y=-2x+b,由于数x、y满足X2y24x+3=0,所以在(x-2)2y21的圆中,圆心为(2,0),函数y=-2x+b和(x-2)2y21的函数图像如下图所示。

 

如图可知,函数y=-2x+b和圆相切,函数在y轴截距取更大值和最小值,圆心到直线的距离为1,所以,丨2×2-b丨/1,b=4±。通过观察图像,得出bmax4+bmin4-。所以函数2x+y的更大值为4+,最小值为4-

分析:此类题目相对较为简单,没有设置过多的陷阱,求解的是二元一次多项式,但并不是本文提到的函数。对此,首先构造熟悉的函数,将问题转化为求解函数在y轴上的截距问题,同时可画图辅助分析,得到更为清晰的解题思路。

四、转化为两点间距离求解函数最值

根据所学的距离公式,如果A(a,b)、B(c,d),那么AB之间的距离d=。因此,部分特定函数,可以转化成y=的形式,从而通过两点间的距离、位置关系求解函数最值。

例:x∈R,x为何值时,y=存在最小值?最小值是多少?

解:将函数转化为y=,表示x轴上点P(x,0)到两个顶点A(1,1)、B(2,2)的距离之和。根据对称性可知最小距离为A(1,1)关于x轴的对称点A’(1,-1)到B(2,2)的距离,所求的P(x,0),即为直线A’B和x轴的交点。直线A’B方程为(x-1)/(2-2)=(y+1)/(2+1),整理得到3x-y-4=0。将y=0带入,得出x=4/3。所以,x=4/3时存在最小值,带入公式得出最小值为

 

    分析:从这种题型中能够看出,在对于等类型的函数最值求解问题,可以采用相似的几何知识求解。对于此类问题,求解的重点就是将问题转化呈已知直线上找一点P,转化为该点到两个定点之间距离之和最小或距离之差更大的为问题。利用两点间距离求解函数最值,能够体现出利用几何知识求解函数最值的直观性。

结论:函数时中学数学当中一个十分重要的组成部分,在高考当中,关于函数最值求解问题始终是考察重点。对于一些特殊函数,利用传统方法求解困难,因此可以考虑利用几何知识,通过数形结合的方法解决实际问题。对于一些简单的函数,可以直接转化得出集合意义。对于复杂函数可发挥创新精神,挖掘函数潜在的几何意义。

参考文献:

[1]刘海洋. 立体几何最值问题的求解策略[J]. 中学生数理化:高二高三版, 2015(12):6-8.

[2]张礼恩. 三角函数最值求解常用“十策”[J]. 数学之友, 2012(4):54-55.

[3]杨柳. 浅谈如何求解分式三角函数最值[J]. 中学课程辅导:教师教育, 2013(22):91-91.